Trên đường tròn lượng giác hai điểm M và N biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc x thỏa mãn \(cotx =  - 1\).

Điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc \(\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Điểm N biểu diễn các góc lượng giác có số đo góc \( - \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

a, (d) cắt trục hoành tại A(x_A;0) và trục tung B(0;x_B)

Vì A thuộc (d) nên \(0=-2x_A+4\Leftrightarrow x_A=2 \Rightarrow A(2;0)\)

Vì B thuộc (d) nên \(y_B=-2.0+4=4\Rightarrow B(0;4)\)

Vậy A(2;0) và B(0;4) là hai điểm cần tìm.

b, Gọi C(x_c;y_c) là điểm có hoành độ bằng tung độ

⇒ x_c = y_c = a. Vì C thuộc (d) nên \(a=-2a+4\Leftrightarrow a=\dfrac{4}{3}\)

⇒ \(C(\dfrac{4}{3};\dfrac{4}{3})\) là điểm cần tìm.

a:

i: 

ii:

Hàm số liên tục và đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}log_2x=+\infty;\lim\limits_{x\rightarrow0^+}log_2x=-\infty\)

Tập giá trị: R

b:

Hàm số liên tục và nghịch biến trên \(\left(0;+\infty\right)\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}log_{\dfrac{1}{2}}x=-\infty;\lim\limits_{x\rightarrow0^+}log_{\dfrac{1}{2}}x=+\infty\)

Tập giá trị: R

a) Ta có: \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {1 - {x^2}} \).

Độ dài \(OM\) chính là giá trị tuyệt đối của hoành độ của điểm \(M\). Vậy \(OM = \left| x \right|\).

Độ dài \(MN\) chính là giá trị tuyệt đối của tung độ của điểm \(N\). Vậy \(MN = \left| {\sqrt {1 - {x^2}} } \right| = \sqrt {1 - {x^2}} \).

\(S\left( x \right) = {S_{ONP}} = \frac{1}{2}.NP.OM = MN.OM = \sqrt {1 - {x^2}} .\left| x \right|\).

b) Xét hàm số  \(S\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} .\left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\sqrt {1 - {x^2}} }&{khi\,\,0 \le x \le 1}\\{ - x\sqrt {1 - {x^2}} }&{khi\,\, - 1 \le x < 0}\end{array}} \right.\).

ĐKXĐ: \(1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 1\)

Hàm số \(S\left( x \right)\) có tập xác định là \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Vậy hàm số \(S\left( x \right)\) xác định trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\) nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).

Ta có: \(S\left( 0 \right) = 0.\sqrt {1 - {0^2}}  = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 0.\sqrt {1 - {0^2}}  = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) =  - 0.\sqrt {1 - {0^2}}  = 0\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S\left( x \right) = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} S\left( x \right) = 0 = S\left( 0 \right)\)

Vậy hàm số \(S\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 0\). Vậy hàm số \(S\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( { - 1;1} \right)\).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 1.\sqrt {1 - {1^2}}  = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( { - x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) =  - 1.\sqrt {1 - {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = 0\)

i:

ii:

Hàm số liên tục và đồng biến trên R

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}2^x=+\infty;\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}2^x=0\)

Tập giá trị: \((0;+\infty)\)

b: 

bảng giá trị:

Hàm số liên tục và nghịch biến trên R

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=0;\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=+\infty\)

Tập giá trị: (0;+\(\infty\))

1: \(\overrightarrow{AB}=\left(-10;-5\right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left(-6;3\right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(4;8\right)\)

Vì \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0\) ΔABC vuông tại C

\(AC=\sqrt{\left(-6\right)^2+3^2}=3\sqrt{5}\)

\(BC=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}\)

Do đó: \(S_{ABC}=\dfrac{AC\cdot BC}{2}=\dfrac{3\sqrt{5}\cdot4\sqrt{5}}{2}=3\sqrt{5}\cdot2\sqrt{5}=30\)